注：回归子也可以被叫做被解释变量

从误差项的协方差矩阵来看，异方差和自相关其实不能算是两件事。满足经典线性回归假设条件的误差项，其协方差矩阵是一个单位阵乘以$\sigma^2$，如果以矩阵形式考虑广义最小二乘法问题会直观很多，对数据$X$和$Y$左乘协方差矩阵的1/2次幂（尚有疑点），可以使得变换后的数据满足OLS估计的条件。异方差和自相关条件下，OLS估计仍然是无偏和一致的，通常可以利用Newey-West标准误一起解决掉。

德宾-沃森d检验

德宾沃森d统计量定义如下：

$$d=\frac{\sum_{t=2}^n (\hat{u}_t-\hat{u}_{t-1})^2}{\sum_{t=2}^n \hat{u}_t^2 }$$

检验的基本假定：

• 回归必须含有截距项
• 解释变量$X$是非随机的
• 干扰项$u_t$是一阶自回归过程产生的
• 干扰项$u_t$服从正态分布
• 回归模型不含有回归子的滞后值
• 没有数据缺失

由一阶自回归相关系数的定义：

$$\hat{\rho}=\frac{\sum \hat{u}_t \hat{u}_{t-1}}{\sum \hat{u}_t^2}$$

立马有$d \approx 2(1-\hat{\rho}) $

在一阶自回归模型中，可以证明，回归系数$rho$和相关系数非常接近，因此采用符号$rho$。

为什么德宾-沃森d检验只适用于一阶自相关？这是因为回归模型包含回归子的滞后值时，d值通常为2左右，从而表明这种模型不存在一阶自相关。德宾曾经提出所谓的h检验来检验序列的高阶自相关，但从统计学意义上看，这一检验不如BG检验。

BG检（布罗施-戈弗雷）检验

这种检验允许：

• 非随机回归元，如回归子的滞后值
• 高阶自相关自回归模式
• 白噪音误差项的简单或高阶移动平均生成误差项$u_t$

以双变量回归模型来说明检验步骤如下：

令$Y_t=\beta_1 +\beta_2 X_t + u_t$

假定误差项$u_t$服从如下$p$阶自回归AR(p)模式：

$$u_t=\rho_1 u_{t-1} +\rho_2 u_{t-2} + ... +\rho_p u_{t-p} +\epsilon_t$$

则要检验的原假设为：$H_0: \ \rho_1=\rho_2=…=\rho_p=0$

Step1 利用OLS估计得到残差$\hat{u}_t$

Step2 将$\hat{u}_t$对所有解释变量和第一步所估计的残差滞后值$\hat{u}_{t-1}$，$\hat{u}_{t-2}$，…，$\hat{u}_{t-p}$做回归，并从这个辅助回归得到$R^2$

$$\hat{u}_t=\alpha_1+\alpha_2 X_t + \rho_1 \hat{u}_{t-1}+\rho_2 \hat{u}_{t-2}+...+\rho_p \hat{u}_{t-p} + \epsilon_t$$

Step3 若样本容量足够大，

$$(n-p)R^2 \sim \chi_p^2$$

若在选定显著性水平下$(n-p)R^2$超过临界值，我们就拒绝$\chi$临界值。

BG检验（也可叫LM检验）的一个缺陷在于，滞后长度p不能先验设定，可以用赤池准则和更有功效的施瓦茨准则来筛选滞后长度。且存在低阶自相关时高阶BG检验不总是拒绝原假设。

补救措施

广义最小二乘

$\rho$已知

利用广义差分方程，变换数据。

$$Y_t-\rho Y_{t-1} = \beta_1(1-\rho) + \beta_2 (X_t-\rho X_{t-2}) +\epsilon_t$$

$\epsilon_t=u_t-\rho u_{t-1}$满足全部OLS假定，故能够得到BLUE估计量

$\rho$未知

• 一次差分法 如果（一阶）自相关系数很高，接近于1，那么可以尝试一次差分法。

• 基于德宾-沃森估计的$\rho$

• 基于残差估计的$\rho$

• 基于迭代的$\rho$

注意，作广义差分后的回归元的估计系数跟原模型的估计系数一样，但截距项要除以$1-\hat{\rho}$才能还原到原模型的截距。

Newey-West 修正标准误（HAC）

在大样本下可以用Newey-West 修正标准误。但在小样本下，这种修正的估计量的性质还没有得到很好的证明，还不如用OLS。

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